Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có $u_5= -15$, \[{u_{20}} = 60\]. 

a) Cấp số cộng có công sai \(d = 5\).

b) Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 35\).

c) Cấp số cộng có số hạng thứ \(15\) là \({u_{15}} = 25\).

d) Cấp số cộng có \(28\) số hạng nhỏ hơn \(100\).

a) Đúng. Ta có: \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).

b) Sai. Vì \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số nên ta có \({S_1} = {u_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1\).

Do đó, \({u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}\).

c) Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n\).

Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

d) Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left[ { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right] = 2\) với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \(2\).

Gọi \({S_1}\) là diện tích của mặt đáy tháp thì \({S_1} = 16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

\({S_i}\) là diện tích mặt trên của tầng thứ \(i\,\,\left( {1 \le i \le 10} \right)\).

Theo bài ra, ta nhận thấy \(\left\{ {{S_i},1 \le i \le 10} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({S_1} = 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng \({T_{10}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{32}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích của mỗi viên gạch là \(30 \times 30 = 900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 0,09\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Ta thấy \(\frac{{1023}}{{32}}:0,09 \approx 355,21\).

Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên.

Đáp án: 356.