Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}\).

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \sqrt 3 \).

b) Số 19683 là số hạng thứ 17 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

c) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(\frac{{\left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\).

d) Tổng \(S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\).

a) Đúng. Ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{{n - 1}}{2} + 1}}}} = {3^{\frac{n}{2} + 1 - \frac{{n - 1}}{2} - 1}} = {3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 ,\,\,\forall n \ge 2\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \sqrt 3 \) và số hạng đầu \({u_1} = {3^{\frac{1}{2} + 1}} = {3^{\frac{3}{2}}} = 3\sqrt 3 \).

b) Sai. Ta có \({u_n} = 19683 \Leftrightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9} \Leftrightarrow \frac{n}{2} + 1 = 9 \Leftrightarrow n = 16.\)

Khi đó, số 19683 là số hạng thứ 16 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

c) Sai. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) chính là tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) và bằng \({S_{100}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{100}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {1 - {{\sqrt 3 }^{100}}} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\).

d) Đúng. Ta có \({u_2} = {u_1}q = 3\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 9\), \({u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1}q \cdot {q^2}\), …, \({u_{20}} = {u_1}{q^{19}} = {u_1}q \cdot {\left( {{q^2}} \right)^9}\).

Như vậy, dãy số \({u_2},{u_4},{u_6},....,{u_{20}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \({u_2} = 9\), công bội \({q^2} = 3\) và có 10 số hạng nên \(S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\).