Một cấp số cộng có \(7\) số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng \(30\), còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng \(35\). Tính số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó.

a) Đúng. Ta có: \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).

b) Sai. Vì \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số nên ta có \({S_1} = {u_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1\).

Do đó, \({u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}\).

c) Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n\).

Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

d) Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left[ { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right] = 2\) với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \(2\).

Gọi \({S_1}\) là diện tích của mặt đáy tháp thì \({S_1} = 16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

\({S_i}\) là diện tích mặt trên của tầng thứ \(i\,\,\left( {1 \le i \le 10} \right)\).

Theo bài ra, ta nhận thấy \(\left\{ {{S_i},1 \le i \le 10} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({S_1} = 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng \({T_{10}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{32}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích của mỗi viên gạch là \(30 \times 30 = 900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 0,09\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Ta thấy \(\frac{{1023}}{{32}}:0,09 \approx 355,21\).

Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên.

Đáp án: 356.