Trong quá trình nghiên cứu một chất phóng xạ, người ta thấy rằng lượng chất phóng xạ còn lại \(N\left( t \right)\) (tính bằng gam) tại thời điểm \(t\) (tính bằng ngày) được tính theo công thức \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - kt}}\). Biết rằng ban đầu (tại \(t = 0\)), khối lượng của chất phóng xạ là \({N_0} = 120\,\,{\rm{gam}}\). Sau 10 ngày, khối lượng của chất phóng xạ giảm còn 60 gam.

a) Công thức biểu diễn lượng chất phóng xạ còn lại theo thời gian \(t\) là \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).

b) Hằng số phân rã \(k\) bằng \(\frac{1}{{10}}\ln \frac{1}{2}\).

c) Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(30\) gam.

d) Sau \(m\) ngày thì lượng chất phóng xạ còn 15 gam. Khi đó \(m\) là số tự nhiên chẵn và chia hết cho \(3\).

a) Đúng. Khi \(t = 0\): \({N_0} = 120\,\,{\rm{gam}}\) nên \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).

b) Sai. Sau 10 ngày: \(N\left( {10} \right) = 120 \cdot {e^{ - 10k}} \Leftrightarrow 60 = 120 \cdot {e^{ - 10k}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 10k}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 10k = \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow 10k = \ln 2 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{10}}\ln 2\).

c) Đúng. Từ ý a) và b) ta có \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}}\).

Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(N\left( {20} \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)\, \cdot \,20}} = 30\) (gam).

d) Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 15 \Leftrightarrow 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = 15 \Leftrightarrow {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln 8 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\frac{1}{{10}}\ln 2}} \Leftrightarrow t = 10 \cdot \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}} = 30\).

Như vậy, sau \(30\) ngày thì lượng chất phóng xạ còn 15 gam.