Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\) có cạnh bằng 4 và \(\widehat {ABD} = 60^\circ \). Gọi \(I\)là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {BI} \).

Ta có \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DI} \); \(\overrightarrow {AO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {BI} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DI} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DI} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DI} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\)\( =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \).

Ta có \(\widehat {ACD} = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 30^\circ \);

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos 120^\circ } \)\( = \sqrt {{4^2} + {4^2} - 2.4.4.\cos 120^\circ }  = 4\sqrt 3 \).

Do đó \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {BI}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\cos 30^\circ  = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 .4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\).