Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC \cap BD = M\) và \(AB \cap CD = I.\)

Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng

a) Trong \[\left( {SDC} \right)\] gọi \[\left\{ I \right\} = SM \cap DC\].

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[\left\{ N \right\} = BI \cap AC\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in BI \subset \left( {SBM} \right)\\N \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow N \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]

Mà \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]

Vậy \[SN = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]

b) Trong \[\left( {SBI} \right)\] gọi \[\left\{ K \right\} = BM \cap SN\]

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}K\in BM\\ K\in SN\subset \left(SAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow K=BM\cap \left(SAC\right)$

Vậy \[K = BM \cap \left( {SAC} \right)\].

c) Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi \[E = SC \cap AK\].

Trong \[\left( {SDC} \right)\] gọi \[F = ME \cap SD\].

Ta có: giao điểm của \[\left( {MAB} \right)\] với các cạnh \[SC,{\rm{ }}SD\] lần lượt là \[E,{\rm{ }}F\] từ đó suy ra:

\[\left( {MAB} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB;\,\,\left( {MAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BE;\,\,\left( {MAB} \right) \cap \left( {SDC} \right) = EF.\]

\[\left( {MAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = FE\].

Vậy thiết diện là tứ giác \[ABEF.\]

Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \({u_1} = \frac{1}{4};\,\,q = \frac{1}{4}.\)

Do đó số hạng tổng quát của là \({u_n} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{1}{{{4^n}}}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\).

Để tính diện tích của hình vuông tô màu nhỏ hơn \(\frac{1}{{1\,\,000}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Khi đó \(\frac{1}{{{4^n}}} < \frac{1}{{1\,\,000}}\, \Leftrightarrow {4^n} > 1\,\,000 \Rightarrow n \ge 5.\)

Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.