Cho tứ diện ABCD. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD;G\) là trung điểm của MN. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm \(M,N,P\) nằm trên các cạnh \[A'B',CC',AD\] như hình vẽ.

Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm \(M,N,P\) để chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất.

Đặt \[M\left( {x;5;0} \right),P\left( {0;0;z} \right),N\left( {5;y;5} \right)\]. Chu vi tam giác \[MNP\] là:

\[\begin{array}{l}MN + NP + PM = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{5^2} + {y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} .\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức vectơ:

\[\begin{array}{l} \Rightarrow MN + NP + PM \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z - 10} \right)}^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {y - 5 + z - 5 - x} \right)}^2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2{{\left( {y + z - x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{225}}{2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \ge 15\sqrt {\frac{3}{2}} = 15\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}y + z - x = \frac{5}{2}\\\frac{{5 - x}}{y} = \frac{{y - 5}}{{z - 5}} = \frac{5}{5}\\\frac{{5 - x + y}}{z} = \frac{{y + z - 10}}{{ - x}} = \frac{{10}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\2y - x = \frac{5}{2}\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{5}{2}\].

Vậy giá trị cần tìm là \[\frac{{15}}{2}\sqrt 6 \] \( \Rightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} = 265.\)

Đáp án: 265.

a) Sai. Ba vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} \) không đồng phẳng.

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {{{\vec F}_2}} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {{{\vec F}_1},\overrightarrow {{F_2}} } \right)\).

c) Sai. Trọng lực \(P = 4,6 \cdot 9,8 = 45,08\,\left( {\rm{N}} \right)\).

d) Sai. Gọi \(O\) là tâm của đáy. Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\).

Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {SO} \).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} \left| = \right|3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO\).

Mặt khác \(3SO = \left| {\vec P} \right| = 45,08 \Rightarrow SO = \frac{{1127}}{{75}}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của AB. Đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(CH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OH = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Tam giác SOH vuông tại \(O\) nên \(S{H^2} = S{O^2} + O{H^2} \Rightarrow \frac{{3{x^2}}}{4} = {\left( {\frac{{1127}}{{75}}} \right)^2} + \frac{{{x^2}}}{{12}} \Rightarrow x = \frac{{1127\sqrt 6 }}{{150}}\).

Do đó \(SA = \frac{{1127\sqrt 6 }}{{150}} \approx 18,4\). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \approx 18,4\,{\rm{(N)}}\).

Vậy độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(18,4\,{\rm{N}}\).