Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.

Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm một hình chữ nhật CDFE và một hình thang cân ADFG với các điểm \(G\left( {6; - 6;6} \right)\), \(C\left( {3;4;8} \right),F\left( {4; - 4;7} \right)\) và điểm \(I\) là trung điểm CE. Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng \(a^\circ \). Tìm a.

Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm \(M,N,P\) nằm trên các cạnh \[A'B',CC',AD\] như hình vẽ.

Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm \(M,N,P\) để chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất.

Đặt \[M\left( {x;5;0} \right),P\left( {0;0;z} \right),N\left( {5;y;5} \right)\]. Chu vi tam giác \[MNP\] là:

\[\begin{array}{l}MN + NP + PM = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{5^2} + {y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} .\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức vectơ:

\[\begin{array}{l} \Rightarrow MN + NP + PM \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z - 10} \right)}^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {y - 5 + z - 5 - x} \right)}^2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2{{\left( {y + z - x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{225}}{2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \ge 15\sqrt {\frac{3}{2}} = 15\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}y + z - x = \frac{5}{2}\\\frac{{5 - x}}{y} = \frac{{y - 5}}{{z - 5}} = \frac{5}{5}\\\frac{{5 - x + y}}{z} = \frac{{y + z - 10}}{{ - x}} = \frac{{10}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\2y - x = \frac{5}{2}\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{5}{2}\].

Vậy giá trị cần tìm là \[\frac{{15}}{2}\sqrt 6 \] \( \Rightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} = 265.\)

Đáp án: 265.

a) Đúng. Radar đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E\left( {0\,;0\,;\,0,1} \right)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500,14 < 600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Vậy \(F\) nằm trong phạm vi điều khiển của radar.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(900\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\overrightarrow a = \left( {3;4;0} \right)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {FA} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {FA} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {FA} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi \(K\left( {x;y;z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của radar, suy ra \(EK = 600\).

Khi đó \(\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Nên \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của radar là \(t = \frac{{330 \cdot 60}}{{900}} = 22\) phút.