Một máy bay cất cánh tại một sân bay, sau khi bắt đầu cất cánh trong thời gian ngắn máy bay sẽ bay theo một đường thẳng và sân bay nơi máy bay cất cánh được coi là một mặt phẳng. Chọn hệ tọa độ \[Oxyz\], đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 km. Biết rằng, máy bay bắt đầu cất cánh tại điểm \[O\left( {0;0;0} \right)\]và sau một thời gian ngắn máy bay bay đến điểm \[A\left( {2;5;\,1,2} \right)\] và sân bay máy bay cất cánh nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Góc tạo bởi đường bay của máy bay cất cánh và sân bay bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị là độ)?

Chúng ta cần tìm vị trí tối ưu của tàu du lịch \(B\) (tương ứng với điểm \(B\)) và tàu chở hàng \(C\) (tương ứng với điểm \(C\)) sao cho tổng quãng đường cứu hộ \(T = AB + BC + CA\) là nhỏ nhất.

Trong không gian \(Oxyz\), ta có:

Hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,z = 0\) và \(A \in \left( \alpha \right)\).

\({d_1}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {1;\, - 2;\,0} \right)\); \({d_2}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},\,{{\vec u}_2}} \right] \ne \vec 0\) nên \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

Gọi \({A_1},\,{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A\) qua \({d_1}\) và \({d_2}\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1}\)\( \Rightarrow \,\,\left( P \right):x - 2y - 5 = 0\).

Gọi \(I = \left( P \right) \cap {d_1}\), thì tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ \[{d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\\x - 2y - 5 = 0\end{array} \right.\]\( \Rightarrow I\left( {3;\, - 1;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_1}\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_2}\)\( \Rightarrow \,\left( Q \right): - x + y + 5 = 0\).

Gọi \(J = \left( Q \right) \cap {d_2}\), thì tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - s\\y = 11 + s\\z = 0\\ - x + y + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow J\left( {9;\,4;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_2}\left( {13;\,8;\,0} \right)\).

Khi đó \(T = AB + BC + CA = {A_1}B + BC + C{A_2} \ge {A_1}{A_2}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(B,\,C,\,{A_1},\,{A_2}\) thẳng hàng.

Vậy \(T\) đạt GTNN khi \(T = {A_1}{A_2}\)\( \Rightarrow {T_{\min }} = {A_1}{A_2} = \sqrt {244} \,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Suy ra \(a = 244\). Vậy \(a + 2026 = 2270\).

Đáp án: 2270.

a) Đúng. Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \[BC = AB = 20\,{\rm{m}}\], do đó \(B\left( {20;20;0} \right)\).

Vì \[DH = 4\,{\rm{m}}\] nên \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).

b) Sai. Vì \[AD = AB = 20\,{\rm{m}}\] và \[AE = 3\,{\rm{m}}\] nên \(E\left( {20\,;0\,;3} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {HE} = \left( {20\,;0\,; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(EH\).

Khi đó, đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(F\left( {20\,;20\,;3} \right)\) và \(\overrightarrow {EF} = \left( {0\,;20\,;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {HE} } \right] = \left( { - 20;0; - 400} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {EFGH} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k = \left( {0\,;0\,;1} \right)\]. Khi đó:

\[\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) = \frac{{\left| {400} \right|}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = \frac{{400}}{{20\sqrt {401} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) \approx 2,86^\circ \].

Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).

d) Đúng.

Gọi \(I\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\).

Suy ra \[M.ABCD\] là hình chóp đều nên \[MI \bot \left( {ABCD} \right)\].

Ta có \[DB = 20\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right) \Rightarrow ID = 10\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)\].

Xét tam giác \[MID\]vuông tại \(I\): \(MI = \sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 8\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vì \[MI{\rm{//}}DL,\,MI = DL = 8\,{\rm{m}}\].

Do đó \[DIML\] là hình bình hành nên \[ML = ID = 10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\].