Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn đến từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp 1 bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau. Tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Ta có \(x + 120 + y + 70 + 60 = 400\)\( \Leftrightarrow x + y = 150\).

Trường hợp 1: \[x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50\].

Ta có \[{Q_1} \in \left[ {0;20} \right)\] nên \[{Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}\].

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\) nên \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150\).

Khi đó, \({Q_1}\)\( \in \left[ {20;\,40} \right)\). Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}\).

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\). Suy ra \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn).

Suy ra \(y = 100\).

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

\(\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48,5\).

Đáp án: 48,5.

a) Sai. Vì có \[5\] quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số \[15\] quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\].

b) Đúng. Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu.

Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega \right) = 15 \cdot 14 = 210\].

Gọi biến cố \[A\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, \[B\]: “Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

Ta suy ra xác suất cần tìm là \[P\left( {B|A} \right)\].

Khi đó biến cố \[A \cap B\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

\[n\left( {A \cap B} \right) = 5 \cdot 4 = 20\] nên \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{210}} = \frac{2}{{21}}\].

\[n\left( A \right) = 5 \cdot 14 = 70\] nên \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].

c) Đúng. Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{21}}\].

d) Đúng. Xác suất cần tìm là \[P\left( {A|B} \right)\].

Ta có \[n\left( B \right) = 5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 70\] nên \[P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].