Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau:

Biết rằng \(x,y\) là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng \(\frac{{845}}{{21}}\). Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Ta có \(x + 120 + y + 70 + 60 = 400\)\( \Leftrightarrow x + y = 150\).

Trường hợp 1: \[x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50\].

Ta có \[{Q_1} \in \left[ {0;20} \right)\] nên \[{Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}\].

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\) nên \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150\).

Khi đó, \({Q_1}\)\( \in \left[ {20;\,40} \right)\). Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}\).

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\). Suy ra \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn).

Suy ra \(y = 100\).

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

\(\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48,5\).

Đáp án: 48,5.