Một nhà mạng viễn thông đang triển khai hệ thống phát hiện và chặn các số điện thoại thực hiện cuộc gọi lừa đảo. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ hoặc bỏ sót một số điện thoại lừa đảo. Hệ thống hoạt động với các thông số sau:

+ Tỷ lệ số điện thoại lừa đảo trong hệ thống: \(5\% \) (tức là \(5\% \) tổng số thuê bao là số lừa đảo).

+ Xác suất hệ thống phát hiện đúng và chặn một số điện thoại lừa đảo: \(94\% \).

+ Xác suất hệ thống chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ (tức là số điện thoại không lừa đảo): \(3\% \).

Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại đã được thử nghiệm hệ thống.

a) Biết rằng số điện thoại đó là số lừa đảo, xác suất để số điện thoại đó bị chặn là 0,94.

b) Xác suất để một số điện thoại bất kỳ bị chặn là \(\frac{{151}}{{2000}}\).

c) Biết rằng một số điện thoại bị chặn, xác suất để số điện thoại đó là số lừa đảo bằng \(\frac{{90}}{{151}}\).

d) Biết rằng một số điện thoại không bị chặn, xác suất để số điện thoại đó là số hợp lệ bằng \(\frac{{1813}}{{1849}}\).

Ta có không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 10!\).

Gọi A là biến cố: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\(\overline A \) là biến cố “Có ít nhất 2 học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\({A_1}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”;

\({A_2}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”.

Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

- Đếm \(n\left( {{A_1}} \right)\): Trước hết cặp ghế cho 2 học sinh 12A ngồi có 5 cách, đổi chỗ 2 bạn này có \(2!\) cách xếp; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_1}} \right) = 5 \cdot 2!\, \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_2}} \right)\): Chọn cặp ghế chứa 2 học sinh lớp 12B có 5 cách, chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế này có \(A_3^2\) cách; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_2}} \right) = 5 \cdot A_3^2 \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\): Chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp ghế có \(C_5^2\) cách; trong 2 cặp này chọn 1 cặp cho 2 học sinh lớp 12A có 2 cách, đổi chỗ 2 học sinh này có \(2!\) cách; chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế còn lại có \(A_3^2\) cách; xếp 6 học sinh còn lại có \(6!\) cách.

Do đó \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = C_5^2 \cdot 2 \cdot 2! \cdot A_3^2 \cdot 6!\).

Suy ra \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1\,440\,000\).

Từ đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{38}}{{63}} \approx 0,6\).

Đáp án: 0,6.

Ta có \(x + 120 + y + 70 + 60 = 400\)\( \Leftrightarrow x + y = 150\).

Trường hợp 1: \[x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50\].

Ta có \[{Q_1} \in \left[ {0;20} \right)\] nên \[{Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}\].

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\) nên \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150\).

Khi đó, \({Q_1}\)\( \in \left[ {20;\,40} \right)\). Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}\).

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\). Suy ra \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn).

Suy ra \(y = 100\).

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

\(\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48,5\).

Đáp án: 48,5.