Trong một hộp đựng \[5\] quả cầu chứa phiếu có thưởng và \[10\] quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.

a) Xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{1}{2}\].

b) Biết bạn Bình đã lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng, xác suất để bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{2}{7}\].

c) Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{2}{{21}}\].

d) Biết An lấy được quả cầu có phiếu có thưởng, xác suất để Bình lấy được quả cầu có phiếu có thưởng là \[\frac{2}{7}\].

a) Sai. Vì có \[5\] quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số \[15\] quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\].

b) Đúng. Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu.

Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega \right) = 15 \cdot 14 = 210\].

Gọi biến cố \[A\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, \[B\]: “Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

Ta suy ra xác suất cần tìm là \[P\left( {B|A} \right)\].

Khi đó biến cố \[A \cap B\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

\[n\left( {A \cap B} \right) = 5 \cdot 4 = 20\] nên \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{210}} = \frac{2}{{21}}\].

\[n\left( A \right) = 5 \cdot 14 = 70\] nên \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].

c) Đúng. Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{21}}\].

d) Đúng. Xác suất cần tìm là \[P\left( {A|B} \right)\].

Ta có \[n\left( B \right) = 5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 70\] nên \[P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].