Cho \(\Delta ABC\) có các đường phân giác \(AD,\;BE,\;CF\;\left( {D \in BC,\;E \in AC,\;F \in AB} \right).\)

a) Sai.

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) trong \(\Delta ABD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}.\)

b) Đúng.

Vì \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) nên \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)

Suy ra \(\frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.\)

Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}.\)

c) Đúng.

Vì \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\) trong \(\Delta ACD\) nên \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}.\) Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{AD}}{{CA + CD}}.\)

Vậy \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}}.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}\) nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}} = \frac{{CA + CD + AB + BD}}{{CD + BD}} = \frac{{CA + AB + BC}}{{BC}}.\)

Vậy \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}.\)