Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\) Kẻ \(BE\;\left( {E \in AC} \right)\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(AH \bot BC\;\left( {H \in BC} \right).\) Goi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(BE.\)

a) Sai.

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {IBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

\(\Delta BIH\) vuông tại \(H\) nên: \(\widehat {BIH} + \widehat {HBI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {HBI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

Mà \(\widehat {BIH} = \widehat {AIE}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {AIE} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

\(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) nên: \(\widehat {IEA} + \widehat {ABI} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {IEA} = 90^\circ - \widehat {ABI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.\)

Do đó, \(\widehat {AIE} = \widehat {IEA}.\) Do đó, \(\Delta IAE\) cân tại \(A.\) Do đó, \(AI = AE.\)

b) Đúng.

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABH}\) trong tam giác \(ABH\) nên \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{BH}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}}.\)

c) Đúng.

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong tam giác \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\) Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)

Vì \(\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}},\;\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}},\;AI = AE\) nên \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) nên \(EC = \frac{{BC \cdot HI}}{{BH}}.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

Do đó, \(BC = 2BH.\) Suy ra: \(EC = \frac{{2BH \cdot HI}}{{BH}} = 2HI.\) Vậy \(EC = 2IH.\)