II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

 (1,0 điểm)

a) Kí hiệu \(H\) là tập hợp học sinh lớp 10A1, \(T\) là tập hợp các học sinh nam và \(G\) là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A1. Hãy các định các tập hợp \(T \cup G,\,\,T \cap G\) và \(H\backslash T\).

b) Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0} \right\}\) và

\(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0} \right\}\). Tìm điều kiện của tham số m để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{4,3 + 7,5 + 3,7}}{2} = 7,75\,\left( {cm} \right)\).

Khi đó diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {7,75\left( {7,75 - 4,3} \right)\left( {7,75 - 7,5} \right)\left( {7,75 - 3,7} \right)} \)

\( \approx 5,2\,\,\left( {cm} \right)\).

Vành ngoài chiếc đĩa chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên bán kính chiếc đĩa chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và bằng:

\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{abc}}}} \approx \frac{{4,3.7,5.3,7}}{{4.5,2}} \approx 5,7\,\left( {cm} \right)\).

Vì vậy bán kính chiếc đĩa khoảng \(5,7\,\,cm\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)

\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)

Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).

Xét tam giác \(ADF\), có:

\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)

\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)

\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)