Cho biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x - 2y + 1\) với \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) có giá trị là

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{4,3 + 7,5 + 3,7}}{2} = 7,75\,\left( {cm} \right)\).

Khi đó diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {7,75\left( {7,75 - 4,3} \right)\left( {7,75 - 7,5} \right)\left( {7,75 - 3,7} \right)} \)

\( \approx 5,2\,\,\left( {cm} \right)\).

Vành ngoài chiếc đĩa chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên bán kính chiếc đĩa chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và bằng:

\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{abc}}}} \approx \frac{{4,3.7,5.3,7}}{{4.5,2}} \approx 5,7\,\left( {cm} \right)\).

Vì vậy bán kính chiếc đĩa khoảng \(5,7\,\,cm\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)

\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)

Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).

Xét tam giác \(ADF\), có:

\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)

\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)

\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)