(1,0 điểm) Khi khai quật một ngôi mộ cổ người ta tìm được một mảnh của một chiếc đĩa phẳng hình tròn bị vỡ. Dựa vào các tài liệu đã có, các nhà khảo cổ đã biết hình vẽ phần còn lại của chiếc đĩa. Họ muốn làm chiếc đĩa mới phỏng theo chiếc đĩa này. Em hãy giúp họ tìm bán kính chiếc đĩa biết \(AB = 4,3\,cm;\,\,AC = 7,5\,\,cm;\,\,BC = 3,7cm\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\), có:

\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)

\( \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}\)

Ta lại có: \(\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) (vì \(\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ \)).

Xét tam giác \(ADF\), có:

\(D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}\) (Áp dụng định lí cosin)

\( \Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a\)

\( \Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Thay \(x =  - 1\) và \(y = 4\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

\(2.\left( { - 1} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow 9 > 0\) là mệnh đề đúng;

\(5.\left( { - 1} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow  - 5 < 0\) là mệnh đề đúng.

Suy ra cặp số \(\left( { - 1;4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó A đúng.

+) Thay \(x =  - 11\) và \(y = 4\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

\(2.\left( { - 11} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow  - 11 > 0\) là mệnh đề sai;

\(5.\left( { - 11} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow  - 55 < 0\) là mệnh đề đúng.

Suy ra cặp số \(\left( { - 11;4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó B sai.

+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

\(2.0 + 3.0 - 1 > 0 \Leftrightarrow  - 1 > 0\) là mệnh đề sai;

\(5.0 - 0 + 4 < 0 \Leftrightarrow 4 < 0\) là mệnh đề sai.

Suy ra cặp số \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó C sai.