Cho \(\Delta ABC\) và các điểm \(M,\;\,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB,\;\,AC\) sao cho \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}.\)

a) Sai.

Vì \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc ở vị trí so le trong).

b) Sai.

 \(\Delta DAB\) và \(\Delta CBD\) có: \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right);\;\,\widehat A = \widehat {DBC}\;\,\left( {{\rm{gt}}} \right).\) Do đó, $∆DAB ~∆CBD$(g.g) 

c) Đúng.

Vì $∆DAB ~∆CBD$ nên \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{DA}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\) Vậy \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) nên \(BD = \frac{3}{2}AB = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và \(CD = \frac{3}{2}BD = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{{27}}{4}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi hình thang \(ABCD\) là: \(AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + \frac{{27}}{4} + 2 = 14,75\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi hình thang \(ABCD\) nhỏ lớn hơn \(15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Ta có: \(\widehat {ICD} = 180^\circ - \widehat {DCx} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ .\) Vậy \(\widehat {ICD} = 80^\circ .\)

b) Sai.

\(\Delta IAB\) và \(\Delta ICD\) có: \(\widehat A = \widehat {ICD}\;\,\left( { = 80^\circ } \right);\;\,\widehat {AIB} = \widehat {CID}\) (hai góc đối đỉnh).  Vậy

c) Sai.

Vì $∆AIB ~∆CID$ nên \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{BI}}{{ID}} = \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{3}{2}.\) Vậy \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{3}{2}.\)

d) Đúng.

Chu vi \(\Delta ICD\) là: \({P_{ICD}} = IC + ID + CD.\)

Chu vi \(\Delta AIB\) là: \({P_{AIB}} = IA + IB + AB.\)

 Ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{BI}}{{ID}} = \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AB + BI + IA}}{{CD + ID + IC}} = \frac{3}{2}.\) Do đó, \({P_{AIB}} = 1,5{P_{ICD}}.\)

Do đó, chu vi \(\Delta AIB\) bằng \(1,5\) lần chu vi tam giác \(\Delta ICD.\)