Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6\;\,{\rm{cm,}}\;\,AC = 7,5\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Trên các cạnh \(AB,\;\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(M,\;\,N\) sao cho \(AM = 5\;\,{\rm{cm,}}\;\,AN = 4\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Khi đó, \(\widehat {AMN} = ...\widehat C.\)

Tìm số thích hợp để điền vào “…” để được đáp án đúng.

Đáp án đúng là: A

\(\Delta ABC\) và  \(\Delta HIK\) có: \(\frac{{AB}}{{KH}} = \frac{{AC}}{{HI}} = \frac{{CB}}{{KI}}\;\,\left( {{\rm{do}}\;\,\frac{5}{{10}} = \frac{6}{{12}} = \frac{8}{{16}}} \right)\) nên $∆ABC ~∆HKI$ (c.c.c)     

Đáp án: \(4\)

\(\Delta OCE\) và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat E = \widehat A,\;\,\widehat {ECO} = \widehat {DCA}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó, $∆OCE ~∆DCA$(g.g).  Suy ra: \(\widehat D = \widehat O = 90^\circ \) và \(\frac{{OE}}{{DA}} = \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{{EC}}{{CA}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\)

Diện tích \(\Delta OCE\) vuông tại \(O\) là: \({S_{OCE}} = \frac{1}{2}OE \cdot OC.\)

Diện tích \(\Delta DCA\) vuông tại \(D\) là: \({S_{DCA}} = \frac{1}{2}DA \cdot CD.\)

Ta có: \(\frac{{{S_{DCA}}}}{{{S_{OCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DA \cdot CD}}{{\frac{1}{2}OE \cdot OC}} = \frac{{DA}}{{OE}} \cdot \frac{{CD}}{{OC}} = 2 \cdot 2 = 4.\)

Suy ra, diện tích \(\Delta ACD\) gấp 4 lần diện tích tích \(\Delta OCE.\)