Cho $∆BAC$ nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AH\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,AC\). Biết \(AH = 5{\rm{ cm,}}\) \(DE = 4{\rm{ cm,}}\) \(BC = 8{\rm{ cm}}\).

a) Đúng.

Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHB\) có: \(\widehat {HDA} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAH} = \widehat {BAH}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ADH \sim \Delta AHB\) (g.g)

b) Đúng.

Suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{H^2} = AD.AB\) (1)

c) Sai.

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {HEA} = \widehat {CHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {EAH} = \widehat {CAH}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AHC\) (g.g).

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay \(A{H^2} = AE.AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD.AB = AE.AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ADE \sim \Delta ACB\)(c.g.c)

d) Đúng.

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{{8.5}}{2} = 20{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Mà \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{D{E^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{4^2}}}{{{8^2}}} = \frac{1}{4}\).

Do đó, \({S_{ADE}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.20 = 5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).