Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AE\;\,\left( {E \in BC} \right).\) Biết rằng \(AB = 40\;{\rm{cm,}}\;\,BC = 50\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC\) nên \(HM \bot AB;\;\,HN \bot AC.\)

Do đó, \(\widehat {AMH} = \widehat {HMB} = \widehat {ANH} = \widehat {HNC} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ .\)

\(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAM}\) chung nên \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\) (g.g).

b) Đúng.

\(\Delta AHN\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAN}\) chung nên \(\Delta AHN \sim \Delta ACH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}}.\) Suy ra \(A{H^2} = AN \cdot AC.\)

c) Sai.

Theo a) ta có: \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\)  (g.g) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}.\) Suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}.\)

Mà \(A{H^2} = AN \cdot AC\) nên \(AM \cdot AB = AN \cdot AC.\)

d) Đúng.

Vì \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}.\)

\(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}};\;\,\widehat {NAM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) chung nên \(\Delta ANM \sim \Delta ABC\)(c.g.c).

Đáp án: \(2,8\)

\(\Delta BCA\) và \(\Delta BC'A'\) có: \(\widehat {ACB} = \widehat {BC'A'} = 90^\circ ;\;\,\widehat {ABC} = \widehat {A'BC'}\) nên \(\Delta BCA \sim \Delta BC'A'\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{BC}}{{BC'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\) suy ra \(A'C' = \frac{{AC \cdot BC'}}{{BC}} = \frac{{1,5 \cdot 1,4}}{{0,75}} = 2,8\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chiều cao cột đèn bằng \(2,8\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)