Xác định hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\).

Đáp án: −2.

Để hai đồ thị \[y = x + m + 1\] và \[y = 3 + \left( {m-1} \right)x\] cắt nhau thì \(m - 1 \ne 1,\) tức là \(m \ne 2.\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục hoành thì giao điểm này có tung độ bằng 0, tức \({y_A} = 0.\)

Thay \({y_A} = 0\) vào hàm số \[y = x + m + 1\] ta được: \[0 = {x_A} + m + 1,\] suy ra \({x_A} = - \left( {m + 1} \right).\)

Thay \({y_A} = 0\) vào hàm số \[y = 3 + \left( {m-1} \right)x\] ta được: \[0 = 3 + \left( {m-1} \right){x_A}.\,\,\,\,\left( * \right)\]

Thay \({x_A} = - \left( {m + 1} \right)\) vào \(\left( * \right)\) ta được \[0 = 3 + \left( {m-1} \right)\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]\]

\[0 = 3 - \left( {{m^2} - 1} \right)\]

\[{m^2} = 4\]

\(m = 2\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 2.\)

Đáp án: −7.

Đường thẳng \(d:y = \left( {m + 2} \right)x - 5\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right),\) nên ta có:

\(2 = \left( {m + 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 5\)

\(m + 2 = - 7.\)

Khi đó ta có đường thẳng \(d:y = - 7x - 5,\) đường thẳng này có hệ số góc là \( - 7.\)