Lan muốn đống góp quà trung thu cho các cháu thiếu nhi bằng cách mua \(2\) loại kẹo từ số tiền tiết kiệm \(350\,\,000\)đồng của mình. Biết kẹo hương dâu giá \(32\,\,000\)đồng/ hộp, kẹo hương cam giá \(36\,\,000\)đồng/hộp. Lan đã mua \(x\) hộp kẹo hương dâu và \(y\) hộp kẹo hương cam. Bất phương trình nào sau đây mô tả điều kiện ràng buộc với \(x,y\)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(A\), \(I\), \(B\) cùng thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương.

Và chúng cùng hướng từ trái sang phải.

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng.

Gọi số bánh cỡ bé làm được là \(x\) (cái), số bánh cỡ lớn làm được là \(y\) (cái) (\(x,y \in {\mathbb{N}^*}\))

Khi đó, số điểm thưởng là: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\).

Số kg bột mì cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\) (kg).

Số kg bột nở cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\) (kg).

Số kg kem béo cần dùng là: \(0,1x + 0,15y\) (kg).

Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở và 5 kg kem béo nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( {x;y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên).

Hàm số \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)\).

Mà \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {40;0} \right) = 200\), \(F\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right) = \frac{{560}}{3}\).

Suy ra \(F\left( {x;y} \right)\) lớn nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {40;0} \right)\).

Do đó, cần phải làm 40 cái bánh cỡ bé để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.