Cho biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x - 2y + 1\) với \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y \ge - 10\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) có giá trị là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,5} \right)\), \(B\left( {2;\,\,4} \right)\), \(C\left( {4;\,\,0} \right)\).

Giá trị của biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các điểm \(O,\,A,\,B,\,C\) là:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\): \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 0 - 2.0 + 1 = 1\);

Tại \(A\left( {0;\,\,5} \right)\): \(F\left( {0;\,\,5} \right) = 0 - 2.5 + 1 = - 9\);

Tại \(B\left( {2;\,\,4} \right)\): \(F\left( {2;\,\,4} \right) = 2 - 2.4 + 1 = - 5\);

Tại \(C\left( {4;\,\,0} \right)\): \(F\left( {4;\,\,0} \right) = 4 - 2.0 + 1 = 5\).

Vậy Biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp \(\left( {0;\,\,5} \right)\).