(1,0 điểm)

a) Kí hiệu \(H\) là tập hợp học sinh lớp 10A1, \(T\) là tập hợp các học sinh nam và \(G\) là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A1. Hãy các định các tập hợp \(T \cup G,\,\,T \cap G\) và \(H\backslash T\).

b) Cho các tập hợp

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0} \right\}\).

Tìm điều kiện của tham số m để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(T \cup G\) là tập hợp số học sinh của lớp 10A1 hay \(T \cup G = H\).

\(T \cap G = \emptyset \).

\(H\backslash T\) là tập hợp học sinh của lớp 10A1 không chứa học sinh nam nên \(H\backslash T = G\).

b) Xét phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) mà \(\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}\).

Khi đó tập hợp \(A\) có \(2\) phần tử vậy để \(A \cup B\) có đúng 3 phần tử thì một phần tử nữa phải lấy từ tập hợp \(B\) và giả sử đó là phần tử \(b\left( {b \ne  - 2;b \ne 1} \right)\).

Theo đầu bài ta có: \({\left[ {b + \left( { - 2} \right) + 1} \right]^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 1 = 3\\b - 1 =  - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Do đó chỉ có \(b = 4\) là thỏa mãn yêu cầu.

Vì \(b = 4 \in B\) nên ta có \({4^2} - \left( {2m + 1} \right)4 + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow 16 - 8m - 4 + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow 12 - 6m = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 2\).

Vậy với \(m = 2\) thì\(A \cup B\) có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.