Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho điền mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được ghi lại trong bảng dưới.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau đây?

a) +) Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có \(ME \cap AC = I\)

Mà \(AC \subset \left( {ABC} \right),ME \subset \left( {MEF} \right)\) nên \(I \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {MEF} \right)\)

Lại có \(M \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {MEF} \right)\)

Nên \(MI = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MEF} \right)\).

+) Trong mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có \(MF \cap AD = J\)

Mà \(AD \subset \left( {ABD} \right),MF \subset \left( {MEF} \right)\) nên \(J \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {MEF} \right)\)

Lại có \(M \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {MEF} \right)\)

Nên \(MJ = \left( {ABD} \right) \cap \left( {MEF} \right)\).

Tương tự, ta có \(IJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {MEF} \right)\).

Do đó thiết diện của tứ diện với mặt phẳng \(\left( {MEF} \right)\) là \(\Delta MIJ\).

b) Vì \(I,J\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABE,\Delta ABF\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AI = \frac{2}{3}AC = \frac{2}{3}a\\AJ = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}a\end{array} \right.\).

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(\Delta ACD\) đều, suy ra \(\widehat {CAD} = \widehat {IAJ} = 60^\circ \).

Vì \(\widehat {IAJ} = 60^\circ \) và \(AI = AJ\) nên \(\Delta AIJ\) đều, suy ra \(IJ = \frac{2}{3}a\).

Do \(M\)là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Xét \(\Delta AMJ\) có \(\widehat {MAJ} = 60^\circ \), ta có:

\(MJ = \sqrt {A{M^2} + A{J^2} - 2AM \cdot AJ \cdot \cos \widehat {MAJ}} \)

\(MJ = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} \cdot \cos 60^\circ } \)\( = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\)

Xét \(\Delta AMI\) có \(\widehat {MAI} = 60^\circ \), ta có:

\(MI = \sqrt {A{M^2} + A{I^2} - 2AM \cdot AI \cdot \cos \widehat {MAI}} \)

\(MI = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} \cdot \cos 60^\circ } \)\( = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).

Do \(MI = MJ = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\) nên \(\Delta MIJ\) cân tại \(M\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(IJ\). Suy ra \(IK = KJ = \frac{{IJ}}{2} = \frac{a}{3}\).

Vì \(\Delta MIJ\) cân có \(MK\) là trung tuyến nên \(MK\) đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta MKI\) có \(MK = \sqrt {M{I^2} - I{K^2}} = \sqrt {{{\frac{{13a}}{{36}}}^2} - \frac{{{a^2}}}{9}} = \frac{a}{2}\).

Khi đó \({S_{MIJ}} = \frac{1}{2}MK \cdot IJ = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}.\)

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu \(n = 5 + 2 + 3 + 1 = 11.\)

Gọi \({x_1},...,{x_{11}}\) là số huy chương mà 11 quốc gia đạt được giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: \({x_1},...,{x_5}\) thuộc nhóm \[\left[ {0;10} \right)\];

\({x_6};{x_7}\) thuộc nhóm \(\left[ {10;50} \right)\);

\({x_8},...,{x_{10}}\) thuộc nhóm \(\left[ {50;100} \right)\);

\({x_{11}}\) thuộc nhóm \(\left[ {100;210} \right)\).

Ta có trung vị thuộc nhóm \(\left[ {10;50} \right)\).

Do đó, \(n = 11;{n_m} = 2;C = 5;{u_m} = 10;{u_{m + 1}} = 50\).

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({M_e} = 10 + \frac{{\frac{{11}}{2} - 5}}{2}.\left( {50 - 10} \right) = 20\).