Cho tứ diện \[ABCD\] có \[G\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng qua \[G\],song song với \[AB\,\]và \(CD\).

(a) Tìm giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\].

(b) Chứng minh thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi \[\left( P \right)\] là hình bình hành.

a) Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\). Khi đó \(\Delta \) đi qua \(G\) và song song với \(CD\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \(BC\) và \(BD\).

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( P \right)}\\{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in \left( P \right)}\\{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] \[ \Rightarrow \] giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)là HK.

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(HK{\rm{//}}CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Giả sử \(\left( P \right)\) cắt \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) các giao tuyến là \(HI\) và \(KJ\).

Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HJ\], \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,\]mà \[AB\parallel \left( P \right)\] nên \[HI\parallel AB\parallel KJ\].

Theo định lí Thalet, ta có \[\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{BK}}{{KD}} = \frac{{BG}}{{GM}} = 2\] suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3}\\\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow HI = KJ\).

Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành \(HIJK\).