Đường cao của hình chóp tam giác đều là

Hướng dẫn giải

Ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\]

Theo bài, \[{\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\] nên suy ra \[ab + bc + ca = 0.\]

Đặt \[x = ab;y = bc;z = ca.\]

Khi đó \[x + y + z = 0.\] Suy ra \(x + y = - z;\,\,y + z = - x;\,\,z + x = - y.\)

Xét \[\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\]

\[ = \left( {1 + \frac{{ab}}{{bc}}} \right)\left( {1 + \frac{{bc}}{{ca}}} \right)\left( {1 + \frac{{ca}}{{ab}}} \right)\]

\[ = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{y + x}}{y}} \right)\left( {\frac{{z + y}}{z}} \right)\left( {\frac{{x + z}}{x}} \right)\]

\[ = \frac{{ - z}}{y}.\frac{{ - x}}{z}.\frac{{ - y}}{x} = - 1.\]

Xét \[\frac{{{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}}}{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}\]\[ = \frac{{{{\left( {ab} \right)}^3} + {{\left( {bc} \right)}^3} + {{\left( {ca} \right)}^3}}}{{3ab \cdot bc \cdot ca}}\]

Từ đó, \[T = \frac{{{a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3}}}{{3{a^2}{b^2}{c^2}}} + \left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = 1 + \left( { - 1} \right) = 0.\]

Vậy \(T = 0.\)