Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2025\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }}\) bằng bao nhiêu?

\(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)

\( = 2 + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)\( = 2 + 2\cos \frac{\pi }{3} = 3\).

Trả lời: 3.

\(\sin x = \sqrt 3 \cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\)\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \[0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\] mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).

Suy ra phương trình có 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Chọn D.