Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho \(\alpha - \beta = \frac{\pi }{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\).

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;2025\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2025\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}\).

Khi đó \(S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}\)\( = \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)\)\( = \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}\).

Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051\).

Trả lời: 4051.

\(\sin x = \sqrt 3 \cos x\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\)\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \[0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\] mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).

Suy ra phương trình có 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Chọn D.