Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}\) ta được kết quả là    

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì x là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(x = \frac{{2\pi }}{9}\) ứng với k = 0.

Suy ra m = 2; n = 9. Do đó \(m + 2n = 20\).

Trả lời: 20.

a) \(g\left( x \right) = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)\)\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

b) \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)\( \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0\). Suy ra \(g\left( x \right) < 0\).

c) Có \(g\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.

Do đó phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

d) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.