Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\) là \({x_0} = \frac{m}{n}\pi \) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,n \in \mathbb{N}*\). Tính giá trị của biểu thức \(m + 2n\).

a) \(g\left( x \right) = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)\)\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

b) \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)\( \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\) \( \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0\). Suy ra \(g\left( x \right) < 0\).

c) Có \(g\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.

Do đó phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

d) Ta có \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0.

Ta có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{24}}{{25}}\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Ta có \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = \frac{{23}}{{25}}\) và \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}}\).

Do đó \(\cot 2\alpha = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = - \frac{{23\sqrt 6 }}{{24}}\).

Khi đó \(a = 23;b = 24\). Vậy \(a + b = 47\).

Trả lời: 47.