(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Vẽ \[AH \bot BC\] \(\left( {H \in BC} \right).\) Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh rằng \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]và tia \[BC\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DBH\) có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \];

\(BH\) là cạnh chung;

\(AH = DH\) (giả thiết).

Do đó \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {BAH} = \widehat {BDH}\) (hai góc tương ứng)

Lại có \(DM\,{\rm{//}}\,BA\) (giả thiết) nên \(\widehat {BAH} = \widehat {MDH}\) (hai góc so le trong)

Do đó \(\widehat {BDH} = \widehat {MDH}\)

Xét \(\Delta BDH\) và \[\Delta MDH\] có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {MHD} = 90^\circ \);

\(DH\) là cạnh chung;

\(\widehat {BDH} = \widehat {MDH}\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta BDH = \Delta MDH\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(BH = MH\) (hai cạnh tương ứng)

Hay \(H\) là trung điểm của \(BM\).

Ta có \(AD \bot BM\) tại trung điểm \(H\) của đoạn thẳng \(BM\) nên \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DBC\) có:

\(AB = DB\) (do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]);

\(\widehat {ABC} = \widehat {DBC}\) (chứng minh câu a);

\(BC\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABC = \Delta DBC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Hay \(CD \bot BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)              

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta DHB\) có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {DHB} = 90^\circ \);

\(AH = DH\) (giả thiết);

\(BH = MH\) (chứng minh câu b)

Do đó \(\Delta AHM = \Delta DHB\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {HDB}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AN\,{\rm{//}}\,BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(CD \bot AN\).

Mặt khác \(CN \bot AN\) (giả thiết)

Từ đó suy ra hai đường thẳng \(CD\) và \(CN\) trùng nhau hay ba điểm \(C,\,\,N,\,\,D\) thẳng hàng.