(0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \left| {x + 1011} \right| + \left| {x + 1012} \right|\).

Cách 1:

Xét các điểm biểu diễn số thực \(x\) trên trục số.

Biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) đúng bằng tổng các khoảng cách từ \(x\)tới hai điểm 1011 và 1012.

• Nếu \(x\)nằm ngoài đoạn giữa 1011 và 1012 thì tổng khoảng cách trên lớn hơn khoảng cách giữa 1011 và 1012.

• Nếu \(x\) nằm trong đoạn giữa 1011 và 1012 thì tổng khoảng cách trên đúng bằng khoảng cách giữa 1011 và 1012.

Vậy biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) có giá trị nhỏ nhất là bằng \(\left| {1012 - 1011} \right| = 1\), khi \(1011 \le x \le 1012\).

Cách 2:

Với mọi \(x\)ta có \(\left| {x - 1012} \right| = \left| {1012 - x} \right|\)

Do đó \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right| = \left| {x - 1011} \right| + \left| {1012 - x} \right|\)

                                                   \( \ge \left| {x - 1011 + 1012 - x} \right| = 1\)

Khi đó \(A \ge 1\), với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1011} \right).\left( {1012 - x} \right) \ge 0\)

Suy ra \(\left( {x - 1011} \right)\) và \(\left( {1012 - x} \right)\) cùng dấu.

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1011 \ge 0\\1012 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1011\\x \le 1012\end{array} \right. \Leftrightarrow 1011 \le x \le 1012\)

Trường hợp 2:

\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1011 \le 0\\1012 - x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1011\\x \ge 1012\end{array} \right.\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\]

Vậy biểu thức \(A = \left| {x - 1011} \right| + \left| {x - 1012} \right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng 1, khi \(1011 \le x \le 1012\).