Cho tấm bìa như hình bên.

Khi sắp xếp độ dài các cạnh của mặt đáy theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, ta được:

a) Học sinh vẽ lại hình theo đúng số đo các góc.

b) Ta có \(\widehat {CBn} = \widehat {BCp} = 140^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Suy ra \(Bn\,{\rm{//}}\,Cp\) (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \(Am\,{\rm{//}}\,Cp\) (giả thiết) nên \(Am\,{\rm{//}}\,Bn\).

c) Vì \(Am\,{\rm{//}}\,Bn\) nên \(\widehat {ABn} = \widehat {BAm} = 140^\circ \) (cặp góc so le trong).

Ta có \(\widehat {ABn} + \widehat {ABx} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {ABx} = 180^\circ - \widehat {ABn} = 40^\circ \).

Tương tự, ta được \(\widehat {CBx} = 40^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ABx} = \widehat {CBx} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = 40^\circ \).

Vậy \(Bx\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), do đó \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{c^2}}} = \frac{{3{b^2}}}{{3{d^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3{b^2}}}{{2{c^2} + 3{d^2}}}\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3{b^2}}}{{2c{}^2 + \,{d^2}}}\).