Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA = a\), \(SB = a\sqrt 3 \). Điểm \(M\) nằm trên đoạn \(AD\) sao cho \(AM = 2MD\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với \(\left( {SAB} \right)\). Tính diện tích hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
¦ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\,\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\\M \in AD,\,M \in \left( P \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ\end{array} \right.\) và \(MN\,{\rm{//}}\,PQ\,{\rm{//}}\,AB\) (1).
¦ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\,\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\\M \in AD,\,M \in \left( P \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {SAD} \right) = MQ\\\left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = NP\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\,{\rm{//}}\,SA\\NP\,{\rm{//}}\,SB\end{array} \right.\).
Mà tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) nên \(SA \bot AB\) \( \Rightarrow MN \bot MQ\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( P \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại \(M\) và \(Q\).
Mặt khác
¦ \(MQ\,{\rm{//}}\,SA\) \( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DQ}}{{DS}}\) \( \Rightarrow MQ = \frac{1}{3}SA\) và \(\frac{{DQ}}{{DS}} = \frac{1}{3}\).
¦ \(PQ\,{\rm{//}}\,CD\) \( \Rightarrow \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}}\) \( \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB\), với \(AB = \sqrt {S{B^2} - S{A^2}} = a\sqrt 2 \).
Khi đó \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MQ \cdot \left( {PQ + MN} \right)\)\( \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{SA}}{3} \cdot \left( {\frac{{2AB}}{3} + AB} \right)\)\( \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{{18}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^3} + 3\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^3} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \right)}}{{\sqrt 3 - x}}\)
\( = \frac{{2\left[ {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 + 3} \right]}}{{\sqrt 3 - \left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{18}}{{2\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 \).
Suy ra \(a = 3,\,\,b = 0\). Vậy \({a^2} + {b^2} = {3^2} + {0^2} = 9\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập