a) Tính giới hạn \(L = \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3} - n} \right)\).
b) Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Mặt phẳng \(\left( {MNG} \right)\) cắt \(AB,AD\) lần lượt tại \(E,F\). Tính tỉ số \(\frac{{EF}}{{MN}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có
\(L = \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} - 2n + 3 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3} + n}} = \lim \frac{{ - 2n + 3}}{{n\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + n}}\)
\( = \lim \frac{{ - 2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + 1}} = - 1\).
b)
Xét tam giác \(BCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,BD\) và \(MN{\rm{ = }}\frac{1}{2}BD\). \(\left( 1 \right)\)
Xét \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) có \(G\) chung và \(MN\,{\rm{//}}\,BD\) nên giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(EF\) đi qua \(G\) và song song với \(MN{\rm{,}}BD\).
Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\) nên \(EF = \frac{2}{3}BD\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{EF}}{{MN}} = \frac{4}{3}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Chọn C
Đáp án \(C\) đúng vì theo nhận xét trong SGK.
Lời giải
\(P = \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right)} \right]\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) - \sin \frac{C}{2}} \right]\sin \frac{C}{2}\)
\( = - \frac{1}{2}{\sin ^2}\frac{C}{2} + \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right).\sin \frac{C}{2}\)\( = - \frac{1}{2}\left[ {{{\sin }^2}\frac{C}{2} - \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right).\sin \frac{C}{2} + \frac{1}{4}{{\cos }^2}\left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right)} \right] + \frac{1}{8}{\cos ^2}\left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right)\)\( = - \frac{1}{2}{\left[ {\sin \frac{C}{2} - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right)} \right]^2} + \frac{1}{8}{\cos ^2}\left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) \le \frac{1}{8}{\cos ^2}\left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) \le \frac{1}{8}\).
Dấu \( = \) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \frac{C}{2} - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) = 0\\{\cos ^2}\left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}\\A = B\end{array} \right. \Leftrightarrow A = B = C = 60^\circ \).
Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{8}\) khi và chỉ khi tam giác \(ABC\) đều.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập