Trong mặt phẳng, cho góc lượng giác có tia đầu \[Ox\] và tia cuối \[Ou\]. Kí hiệu góc lượng giác trên là:

Gọi \({N_n}\) là quảng đường mà quả bóng chuyển nảy lên theo chiều thẳng đứng lấn thứ n. Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \(\frac{1}{5}\) lần nảy trước đó, ta có:

\({N_1} = \frac{1}{5}.80;{N_2} = \frac{1}{5}.80.\frac{1}{5} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2};\;{N_3} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^3};...\)

Do đó tổng quảng đường mà quả bóng nảy lên là:

\({S_1} = \frac{1}{5}.80 + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} + ... + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{{80.\frac{1}{5}}}{{1 - \frac{1}{5}}} = 20\left( m \right)\)

Gọi \({R_n}\) là quảng đường mà quả bóng chuyển rơi xuống theo chiều thẳng đứng lấn thứ n. Ta có:

\[{R_1} = 80;{R_2} = \frac{1}{5}.80;\;{R_3} = 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2};...\]

Do đó tổng quảng đường mà quả bóng rơi xuống là:

\({S_2} = 80 + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + ... + 80.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{{80}}{{1 - \frac{1}{5}}} = 100\left( m \right)\)

Vậy tổng độ dài hành trình của quả bóng là :\(S = {S_1} + {S_2} = 120\left( m \right)\) .

Gọi \[N = DH \cap \left( R \right),Q = EA \cap \left( R \right)\]

\[\left( {EFMH} \right)//\left( {ABCD} \right)\] (giả thiết)

\[\left( R \right)//\left( {ABCD} \right)\] (cách dựng)

Mà \[\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( R \right)\\K \notin \left( {EFMH} \right)\end{array} \right.\] nên \[\left( {EFMH} \right)//\left( R \right)\]

Suy ra ba mặt phẳng \[\left( {EFMH} \right),\left( R \right),\left( {ABCD} \right)\] đôi một song song,

Do đó, theo định lí Thalès, ba mặt phẳng trên chắn trên hai cát tuyến \[FB,HD\] các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, từ đó ta có: \[\frac{{FB}}{{PB}} = \frac{{HD}}{{ND}}\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( R \right)//\left( {ABCD} \right)\\\left( {CDHK} \right) \cap \left( R \right) = NK\\\left( {CDHK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow NK//CD\]

\[\left\{ \begin{array}{l}NK//CD\\CK//ND\end{array} \right. \Rightarrow \] \[CDNK\] là hình bình hành, suy ra \[ND = CK = 36cm\]

\[\frac{{FB}}{{PB}} = \frac{{HD}}{{ND}} \Rightarrow PB = \frac{{FB.ND}}{{HD}} = \frac{{50.36}}{{60}} = 30cm\]

Vậy \[PB = 30cm\]