Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(20{\rm{\;cm}}\). Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác (hình vẽ) để được hình chữ nhật \(MNPQ.\) Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.

a) Ta viết \(y = mx + n\) về dạng \(mx - y =  - n\).

Do đó đồ thị hàm số \(y = mx + n\) biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn \(mx - y =  - n\).

Nghiệm tổng quát của phương trình đó là \(\left( {x;\,\,mx + n} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

b) Để đồ thị hàm số \(y = mx + n\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay \(x = 1,\,\,y = 3\) vào hàm số \(y = mx + n,\) ta được:

\(3 = m \cdot 1 + n\) hay \(m + n = 3\)   (1)

Để đồ thị hàm số \(y = mx + n\) đi qua điểm \(B\left( { - 1; - 2} \right)\) thì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay \(x =  - 1,\,\,y =  - 2\) vào hàm số \(y = mx + n,\) ta được:

\( - 2 = m \cdot \left( { - 1} \right) + n\) hay \( - m + n =  - 2\)   (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 3\\ - m + n =  - 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(2n = 1\) suy ra \(n = \frac{1}{2}.\)

Thay \(n = \frac{1}{2}\) vào phương trình \(m + n = 3,\) ta được:

\(m + \frac{1}{2} = 3,\) suy ra \(m = \frac{5}{2}.\)

Vậy \(m = \frac{5}{2}\) và \(n = \frac{1}{2}.\)

Gọi \(x\) (đồng) và \(y\) (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng nên ta có phương trình:

\(x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do trong đoàn \(40\) người chỉ có \(5\) người mua vé cáp treo \(1\) lượt cho lượt xuống nên đã có \(40 - 5 = 35\) người mua vé cáp treo khứ hồi.

Khi đó, số tiền cần trả để mua \(35\) vé cáp treo khứ hồi và \(5\) vé cáp treo 1 lượt là: \(35x + 5y\) (đồng).

Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé nên ta có phương trình:

\(35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(5,\) ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(40x = 8\,\,800\,\,000,\) suy ra \(x = 220\,\,000\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 220\,\,000\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(220\,\,000 - y = 70\,\,000,\) suy ra \(y = 150\,\,000\) (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).\)

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là \(200\,\,000\) đồng và \(150\,\,000\) đồng.