Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Kéo dài \(CA\) một đoạn sao cho \(AE = AB.\) Kẻ \(EK \bot BC\,\,\)\((K\) nằm trên đường thẳng \(BC).\)

a) Viết các tỉ số lượng giác của \(\widehat {EBK}\).

b) Cho \(EC = 16{\rm{\;cm}}\) và \(\widehat {C\,} = 30^\circ \). Tính độ dài cạnh \(EK\) và \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Giả sử \(EK\) cắt \(AB\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]

Giá thuê mỗi phòng sau khi tăng giá phòng lên \[x\% \] là: \(480 + 480 \cdot x\%  = 480 + 4,8x\) (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng \[x\% \] là: O10-2024-GV154...\[100 - 100 \cdot \frac{{4x}}{5}\% \]\[ = 100 - \frac{{4x}}{5}\] (phòng).

Tổng doanh thu tương ứng là:

\[A\left( x \right) = \left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right)\left( {480 + 4,8x} \right)\]\[ = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right)\] (nghìn đồng).

Để nhà nghỉ đạt doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\left( x \right)\).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho biểu thức \(A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right),\) ta được:

\[A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right) \le 3,84 \cdot {\left( {\frac{{125 - x + 100 + x}}{2}} \right)^2} = 48\,\,600\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[125 - x = 100 + x\] hay \[x = 12,5\].

Vậy giá phòng niêm yết là \[480 + 4,8 \cdot 12,5 = 540\] (nghìn đồng) thì khách sạn đạt doanh thu cao nhất là \(48\,\,600\) nghìn đồng \((48\,\,600\,\,000\) đồng).

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên \[\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ \] và \[\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \].

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ  = AB\sqrt 3 \].

Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[A\], ta có:

\[AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ  = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].

Suy ra \[CD = AC - AD = AB\sqrt 3  - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD\].

Như vậy, quãng đường \(CD\) gấp đôi quãng đường \(DA.\) Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ \(C\) đến \(D\) gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ \(D\) về \(A\).

Vậy thời gian để xe máy chạy từ \[D\] đến tòa nhà là \[\frac{6}{2} = 3\] (phút).