Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị \({m_1},{m_2},{m_3}\) của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3\).

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

\({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} =  - \frac{b}{a} \Leftrightarrow {x_2} =  - \frac{b}{{3a}} =  - \frac{{ - 9}}{3} = 3\)

Suy ra

\({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1,m = 2,m = 3\)

Với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\)thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 =  - 15\)

Do vậy, với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình

\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\)

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy \(m =  - 1,m = 2,m = 3\)là các giá trị cần tìm. Do đó \({( - 1)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\)