Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

Gọi \(x\) là số quả dưa hấu mà ông A thu hoạch được.

Khi đó số quả dưa hấu mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\)

Số quả dưa hấu mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)

...

Số quả dưa hấu mà người thứ chín mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^9}}}\)

Khi đó:\(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 2}}{{{2^9}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) = x\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{511}}{{512}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 1022\).

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm \(2023\) được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Vào ngày, tháng nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Vì

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất \( \Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = 149 + 356k.\)

Do $0<t\le 365\stackrel{}{\to }0<149+356k\le 365\iff -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0$.

Với $k=0\stackrel{}{\to }t=149$  rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2023 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \(0 < t \le 365\) thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).