Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (\(D\) thuộc cạnh \(BC\)). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\), trên tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\).
a) Chứng minh \[\Delta BDF = \Delta EDC\].
b) Chứng minh ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng
c) Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BE\) và \(CF\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (\(D\) thuộc cạnh \(BC\)). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\), trên tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\).
a) Chứng minh \[\Delta BDF = \Delta EDC\].
b) Chứng minh ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng
c) Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BE\) và \(CF\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\).
Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta ADC\) có:
\(AF = AC\,;\,\,\widehat {FAD} = \widehat {CAD}\,;\,\,AD\) chung.
Do đó \(\Delta ADF = \Delta ADC\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng) và \(FD = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Vì \(AF = AC\,;\,\,AB = AE\) suy ra \(BF = EC\)
Xét tam giác \(BDF\) và tam giác \(EDC\) có:
\(BF = EC\,;\,\,\,\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\,;\,\,\,FD = CD\).
Do đó \(\Delta BDF = \Delta EDC\) (c.g.c)
b) Theo câu a) \(\Delta BDF = \Delta EDC\) suy ra \(\widehat {BDF} = \widehat {ECD}\).
Mà \(\widehat {BDE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên\(\widehat {BDE} + \widehat {FDB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {FDE} = 180^\circ \).
Suy ra ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng.
c) Gọi \(G,\,H\) theo thứ tự là giao điểm của \(AD\) và \(BE,\,CF\).
Xét tam giác \(ABG\) và \(AEG\) có:
\(AB = AE\,;\,\,\widehat {BAG} = \widehat {EAG}\,;\,\,AG\) chung.
Suy ra \(\Delta ABG = \Delta AEG\) (c.g.c)
Do đó, \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE}\) (hai góc tương ứng) và \(GB = GE\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Mà \(\widehat {AGB} + \widehat {AGE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE} = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\) là đường trung trực \(BE\).
Chứng minh tương tự ta có \(AD\) là đường trung trực \(CF\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Vì \(CD\) là phân giác \(\widehat {BCA}\) suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\).
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ECD\) có:
\(AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD\) chung.
Do đó \(\Delta ACD = \Delta ECD\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(DE \bot BC\).
b) Vì \(AM\parallel CD\) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {DCA}\) (hai góc so le trong)
Vì \(CM \bot CA\) nên \(\widehat {MCA} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA\) chung; \(\widehat {DCA} = \widehat {MAC}\).
Do đó \(\Delta CAD = \Delta ACM\) (g.c.g).
Suy ra (hai cạnh tương ứng).
c) Xét tam giác \(NBC\) và tam giác \(NKC\) có:
\(\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC\) chung; \(\widehat {BCN} = \widehat {CKN}\)
Suy ra \(\Delta NBC = \Delta NKC\,\)(g.c.g)
Do đó \(\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK\).
Xét tam giác \(NBD\) và tam giác \(NKD\) có:
\(NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND\) chung.
Suy ra \(\Delta NBD = \Delta NKD\) (c.g.c).
Do đó, \(\widehat {NBD} = \widehat {NKD}\) (hai góc tương ứng)
d) Xét tam giác \(BKE\) và tam giác \(BKC\) có:
\[\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK\] chung; \[\widehat {BKE} = \widehat {KBA}\].
Do đó \(\Delta BKE = \Delta BKC\) (g.c.g)
Suy ra \(\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(KE \bot BC\).
Mà \(DE \bot AC\).
Suy ra ba điểm \(K,\,D,\,E\) thẳng hàng.
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có \(MA = MD\) (giả thiết) \(MB = MC\) (vì \[M\] là trung điểm) \(\widehat {ABM} = \widehat {CMD}\) (đối đỉnh) Do đó \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) b) Từ câu a: \(\Delta ABM = \Delta DCM\). Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {MDC}\). Nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau). |
|
c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có \(AD < AC + CD\).
Từ \(\Delta ABM = \Delta DCM\) suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Do đó \(AD < AC + AB\) nên \(\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}\).
Vậy \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).
Câu 3
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\,\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC(\,H \in BC)\). Trên tia \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(AK\).
a) chứng minh: \(\Delta AHC = \Delta KCH\).
b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia \(AE\) lấy điểm \(D\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh rằng: \(BD = AC = CK\).
c) chứng minh rằng: \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AEK}\) và \(DK\,{\rm{//}}\,BC\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CK\), \(N\) là trung điểm của \(KD\). Chứng minh: \(E,I,N\) thẳng hàng.
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\,\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC(\,H \in BC)\). Trên tia \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(AK\).
a) chứng minh: \(\Delta AHC = \Delta KCH\).
b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia \(AE\) lấy điểm \(D\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh rằng: \(BD = AC = CK\).
c) chứng minh rằng: \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AEK}\) và \(DK\,{\rm{//}}\,BC\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CK\), \(N\) là trung điểm của \(KD\). Chứng minh: \(E,I,N\) thẳng hàng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập