Cho 4 số thực \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) khác 0 thỏa mãn \(a + b + c + d \ne 0\) và

\(\frac{{2a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + 2b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2d}}{d}\).

Tìm giá trị của biểu thức \(M\), biết \(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}}\).

Một hình chữ nhật có chiều rộng \[x - 2{\rm{ (cm)}}\], chiều dài lớn hơn chiều rộng \[3{\rm{ cm}}.\] Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích hình chữ nhật đó.

Một hình chữ nhật có chiều rộng \[x{\rm{ (cm)}}\], chiều dài lớn hơn chiều rộng \[5{\rm{ cm}}.\] Tính diện tích hình chữ nhật khi \[x = 3\].

Cho tam giác \(ABC\) có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\].

a) So sánh các đoạn thẳng \(CA,\,\,CD\) và \[CB\].

b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\].

Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MA = MD\). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABM = \Delta DCM\);

b) \(AB\,{\rm{//}}\,CD\);                                                        

c) \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).

Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A\,,\,\,B\) nằm cùng về một phía của \(d\) và \(AB\) không song song và không vuông góc với \(d\). Một điểm \(H\) di động trên \(d\). Tìm vị trí của \(H\) sao cho \(\left| {HA - HB} \right|\) là

a) nhỏ nhất;                                                     

b) lớn nhất.

Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]. Trên tia đối của tia \[IC\], lấy điểm \[M\] sao cho \[IM = IC\].

a) Chứng minh rằng \[\Delta AIM = \Delta BIC\].

b) Gọi \[E\] là trung điểm của \[AC\]. Trên tia đối của tia \[EB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[EN = EB.\] Chứng minh \[AN{\rm{ // }}BC\].

c) Chứng minh rằng \[A\] là trung điểm của đoạn \[MN\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Vẽ \[AH \bot BC\] \(\left( {H \in BC} \right).\) Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] và tia \[BC\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.