Cho \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}\). Chứng minh rằng \(\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ca}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\).
Cho \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}\). Chứng minh rằng \(\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ca}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}\)
Suy ra \(\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}\)
Suy ra \({\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}\)
Lại có \[\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}\]
\[ = \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]
Tương tự \[\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\];
\[\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]
Suy ra \[\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]
Do đó \[\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Vì \(CD\) là phân giác \(\widehat {BCA}\) suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\).
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ECD\) có:
\(AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD\) chung.
Do đó \(\Delta ACD = \Delta ECD\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(DE \bot BC\).
b) Vì \(AM\parallel CD\) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {DCA}\) (hai góc so le trong)
Vì \(CM \bot CA\) nên \(\widehat {MCA} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA\) chung; \(\widehat {DCA} = \widehat {MAC}\).
Do đó \(\Delta CAD = \Delta ACM\) (g.c.g).
Suy ra (hai cạnh tương ứng).
c) Xét tam giác \(NBC\) và tam giác \(NKC\) có:
\(\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC\) chung; \(\widehat {BCN} = \widehat {CKN}\)
Suy ra \(\Delta NBC = \Delta NKC\,\)(g.c.g)
Do đó \(\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK\).
Xét tam giác \(NBD\) và tam giác \(NKD\) có:
\(NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND\) chung.
Suy ra \(\Delta NBD = \Delta NKD\) (c.g.c).
Do đó, \(\widehat {NBD} = \widehat {NKD}\) (hai góc tương ứng)
d) Xét tam giác \(BKE\) và tam giác \(BKC\) có:
\[\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK\] chung; \[\widehat {BKE} = \widehat {KBA}\].
Do đó \(\Delta BKE = \Delta BKC\) (g.c.g)
Suy ra \(\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(KE \bot BC\).
Mà \(DE \bot AC\).
Suy ra ba điểm \(K,\,D,\,E\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có \(MA = MD\) (giả thiết) \(MB = MC\) (vì \[M\] là trung điểm) \(\widehat {ABM} = \widehat {CMD}\) (đối đỉnh) Do đó \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) b) Từ câu a: \(\Delta ABM = \Delta DCM\). Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {MDC}\). Nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau). |
|
c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có \(AD < AC + CD\).
Từ \(\Delta ABM = \Delta DCM\) suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Do đó \(AD < AC + AB\) nên \(\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}\).
Vậy \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).
Câu 3
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\,\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC(\,H \in BC)\). Trên tia \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(AK\).
a) chứng minh: \(\Delta AHC = \Delta KCH\).
b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia \(AE\) lấy điểm \(D\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh rằng: \(BD = AC = CK\).
c) chứng minh rằng: \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AEK}\) và \(DK\,{\rm{//}}\,BC\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CK\), \(N\) là trung điểm của \(KD\). Chứng minh: \(E,I,N\) thẳng hàng.
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\,\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC(\,H \in BC)\). Trên tia \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(AK\).
a) chứng minh: \(\Delta AHC = \Delta KCH\).
b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia \(AE\) lấy điểm \(D\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh rằng: \(BD = AC = CK\).
c) chứng minh rằng: \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AEK}\) và \(DK\,{\rm{//}}\,BC\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CK\), \(N\) là trung điểm của \(KD\). Chứng minh: \(E,I,N\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập