Câu hỏi:

01/12/2025 2

Cho $\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}$. Chứng minh rằng $\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ca}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}$

Suy ra $\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}$

Suy ra ${\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}$

Lại có \[\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}\]

\[ = \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Tương tự \[\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\];

\[\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Suy ra \[\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Do đó \[\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\].

a) So sánh các đoạn thẳng $CA,\,\,CD$ và \[CB\].

b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì \[\Delta ACD\] có $\widehat A$ tù nên $\widehat A$ là góc lớn nhất trong ba góc nên \[CD\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[CD > CA\] (1)

Ta có: $\widehat {BDC} > \widehat A$ (do $\widehat {BDC}$ là góc ngoài của \[\Delta ACD\])

Do đó $\widehat {BDC}$ tù.

$Cho tam giác $ABC$ có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\]. a) So sánh các đoạn thẳng $CA,\,\,CD$ và \[CB\]. b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\]. (ảnh 1)$

Vì \[\Delta BDC\] có $\widehat {BDC}$ tù nên $\widehat {BDC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên đó \[BC\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[CB > CD\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[CB > CD > CA\].

b) Ta có: $\widehat {DEC} > \widehat A$ (do $\widehat {DEC}$ là góc ngoài của tam giác \[AED\]).

Suy ra $\widehat {DEC}$ tù.

Vì \[\Delta DEC\] có $\widehat {DEC}$ tù nên $\widehat {DEC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên \[DC\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[DC > DE\].

Mà \[CB > CD\] (theo câu a) nên \[CB > DE\].

Do đó \[DE < BC\].

Câu 2

Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MA = MD$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABM = \Delta DCM$;

b) $AB\,{\rm{//}}\,CD$;

c) $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì \[M\] là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

$Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là (ảnh 1)$

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có $AD < AC + CD$.

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Câu 3