Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A\) và \(B\), đi ngược chiều nhau trên cùng một tuyến đường. Đến điểm gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là \(20{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Biết rằng nếu đi hết quãng đường \(AB,\) xe thứ nhất đi hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi hết 3 giờ 45 phút. Tính độ dài quãng đường \(AB\).

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB > AC} \right)\) tại \(C\). Tia phân giác góc \(ACB\) cắt cạnh \(AB\) tại \(D\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CA\).

a) Chứng minh \(DE \bot BC\).

b) Vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(d\) tại \(M\). Chứng minh \(AM = CD\).

c) Qua \(B\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(CD\) tại \(N\) cắt \(AC\) tại \(K\). Chứng minh \(KE \bot BC\) và ba điểm \(K,\,\,\,D,\,\,\,E\) thẳng hàng.

Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MA = MD\). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABM = \Delta DCM\);

b) \(AB\,{\rm{//}}\,CD\);                                                        

c) \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).

Cho tam giác \(ABC\) có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\].

a) So sánh các đoạn thẳng \(CA,\,\,CD\) và \[CB\].

b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\].

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] là ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}.\)

Tính giá trị biểu thức \[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\].

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số khác 0 thỏa mãn: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\) (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Vẽ \[AH \bot BC\] \(\left( {H \in BC} \right).\) Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] và tia \[BC\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.