Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(BF = BC\). Kẻ \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(DE \bot BC\);                  

b) \(AD < DC\);                     

c) \(\Delta ADF = \Delta EDC.\)

a) • Xét \(\Delta AQE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(AE = BE\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AB\))

\[\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}\] (hai góc đối đỉnh)

\(QE = CE\) (gt)

Do đó \(\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \[AQ = BC\] (hai cạnh tương ứng)     (1)

• Xét \(\Delta APF\) và \(\Delta CBF\) có

\(PF = BF\) (gt)

\[\widehat {AFP} = \widehat {BFC}\] (hai góc đối đỉnh)

\(AE = BE\) (vì \(F\) là trung điểm của \(AC\))

Do đó \[\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AP = BC\] (hai cạnh tương ứng)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AP = AQ\].

b) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác \(ABC\) có \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Do đó, ba điểm \(P,\,\,A\,,\,\,Q\) thẳng hàng.

c) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (cmt)

Suy ra \(BQ\,{\rm{//}}\,AC\) và \(CP\,{\rm{//}}\,AB\) (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng \(AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ\) là ba đường trung tuyến của tam giác \[QRP\] nên đồng quy.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Suy ra  \[a + b - c = c\] suy ra \[a + b = 2c\];

\[b + c - a = a\] suy ra \[b + c = 2a\];

\[c + a - b = b\] suy ra \[c + a = 2b\].

\[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8\]

Vậy \[B = 8\].