Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi một học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với \(3;\,\,4;\,\,2.\) Tìm số học sinh của mỗi tổ.

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(BF = BC\). Kẻ \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(DE \bot BC\);                  

b) \(AD < DC\);                     

c) \(\Delta ADF = \Delta EDC.\)

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] là ba số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b}.\)

Tính giá trị biểu thức \[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\].

Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MA = MD\). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABM = \Delta DCM\);

b) \(AB\,{\rm{//}}\,CD\);                                                        

c) \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số khác 0 thỏa mãn: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\) (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,AC.\) Trên tia đối của tia \(FB\) lấy điểm \(P\) sao cho \(PF = BF\). Trên tia đối của tia \(EC\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(QE = CE\).

a) Chứng minh: \(\Delta AQE = \Delta BCE\,,\,\,\Delta APF = \Delta CBF\), từ đó suy ra \(AP = AQ\).

b) Chứng minh ba điểm \(P,\,\,A\,,\,\,Q\) thẳng hàng.

c) Chứng minh \(BQ\,\,{\rm{//}}\,AC\) và \(CP\,{\rm{//}}\,AB\).

d) Gọi \(R\) là giao điểm của hai đường thẳng \(PC\) và \(QB\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ\) đồng quy.

Nhà trường dự định chia vở cho ba lớp 7A, 7B, 7C theo tỉ lệ \(7;\,\,6;\,\,5\). Nhưng vì có sự thay đổi nên phải chia lại theo tỉ lệ \(6;\,\,5;\,\,4\). Như vậy có lớp đã nhận được ít hơn dự định 12 quyển. Tính số vở mỗi lớp đã nhận được trong thực tế.