Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số khác 0 thỏa mãn: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\) (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày. Hỏi đội thứ ba hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng tổng số người của đội một và đội hai gấp năm lần số người của đội ba.

Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi một học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với \(3;\,\,4;\,\,2.\) Tìm số học sinh của mỗi tổ.

Nhà trường dự định chia vở cho ba lớp 7A, 7B, 7C theo tỉ lệ \(7;\,\,6;\,\,5\). Nhưng vì có sự thay đổi nên phải chia lại theo tỉ lệ \(6;\,\,5;\,\,4\). Như vậy có lớp đã nhận được ít hơn dự định 12 quyển. Tính số vở mỗi lớp đã nhận được trong thực tế.

Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A\) và \(B\), đi ngược chiều nhau trên cùng một tuyến đường. Đến điểm gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là \(20{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Biết rằng nếu đi hết quãng đường \(AB,\) xe thứ nhất đi hết 4 giờ 15 phút, xe thứ hai đi hết 3 giờ 45 phút. Tính độ dài quãng đường \(AB\).

Gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}\). Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là \(43,2\) tấn. Sau 1 tháng, người ta tiêu thụ ở kho thứ nhất \(40\% \) và ở kho thứ hai \(30\% \) và ở kho thứ ba là 25% số gạo có trong mỗi kho. Hỏi trong một tháng đã tiêu thụ được bao nhiêu tấn gạo?

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(BF = BC\). Kẻ \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(DE \bot BC\);                  

b) \(AD < DC\);                     

c) \(\Delta ADF = \Delta EDC.\)